7. hét: számábrázolás, bitek

Mennyi?

Mennyi 27|13? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi 45&57? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi 27^13? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi (~20) & 13? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi 0x2A | 0x82? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tizenhatos számrendszerben is add meg!

Mennyi 20|13? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi 42&54? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tízes számrendszerben is add meg!

Mennyi 0x2A ^ 0x36? Írd le mindkét számot, valamint az eredményt is kettes számrendszerben! Az eredményt tizenhatos számrendszerben is add meg!

Mennyi (~22) & 10? Írd le 22-t, ~22-t és 10-et, valamint az eredményt is kettes számrendszerben!

Műveletek kettes számrendszerben

Végezzük el az alábbi műveleteket kettes számrendszerben! Tízesben tudjuk, hogy kell... De megy kettesben is? Mennyiben más?

 101101
+110111
–––––––

 101101×1011
 ––––––
 

Hexadecimális

Készíts programot, mely a felhasználó által megadott decimális (poz. egész) számot átváltja 16-os számrendszerbe (hexadecimális), és az eredményt kiírja a képernyőre.
(Ehhez a printf()-fel is lehet ügyeskedni.)

Igazságtábla – kevés bitre

Készíts programot, mely elkészíti az alábbi logikai függvények igazságtáblázatát, és kiírja a képernyőre: a.) ÉS b.) VAGY c.) NOT d.) NOR e.) XOR.

Igazságtábla – sok bitre

ABC|Q
---+-
000|0
001|0
010|0
011|0
100|0
101|0
110|0
111|1

Készítsünk programot, amelyik az ÉS, VAGY, KIZÁRÓ VAGY függvény igazságtábláját készíti el, a felhasználó által megadott bemenetszámra!

Például 3 bites ÉS igazságtábla esetén a jobb oldali legyen a kimenet.

Bináris szám megadása

Írj programot, mely bekér egy max 16 hosszú bitsorozatot karakterlánc formában karakterenként úgy, hogy csak 0-ás és 1-es karakterek bevitelét engedélyezi. A bevitel végét az enter megnyomása jelzi. Ezután írja ki az ilyen módon kettes számrendszerben megadott szám tízes számrendszerbeli alakját! (Elsőleg legnagyobb helyiértéket adja meg a felhasználó.)

Egyszerű bitműveletek

Írjunk programot, amelyik kér egy nemnegatív számot. Írja ki ezt a számot binárisan. Utána állítsa 1-be a 7. bitjét; állítsa 0-ba a 6. bitjét, és végül negálja a 0. bitjét. Írja ki az így megváltoztatott számot!

Bitek cseréje – adott sorszámú bitek

Írj egy programrészt, amelyik egy nemnegatív egész számban megcseréli két adott sorszámú bitjét! Az így keletkező számot kell előállítani. A 0. bit a legkisebb helyiértékű.

Tükrözve

Készíts programot, mely egy unsigned char típusú változóban tükrözi a biteket, vagyis a legnagyobb helyiértékű bit helyet cserél a legkisebbel (0↔7), a második legnagyobb a második legkisebbel (1↔6) stb.

Adott bitek invertálása

Írj olyan programrészt, amely egy előjel nélküli x számban p pozíciótól kezve n bitet invertál! Például bemenet: x=10110 (binárisan), p=2, n=3-ra a kimenet x=01010.

Bitsorozat kivágása

Írj programrészt, amely paraméterként kap három egész számot (szam, honnan, db)! A programrész vegye ki a szam jobbról honnan sorszámú, db számú bitet tartalmazó tartományát, és ezt adja meg! Pl. Be: 471, 3, 5 → 471=111010111 → 10101, tehát a kimenet: 21.

Hány eltérő megoldást lehet találni?

Páros számú 1-es bit

Írj programrészt, amely bemenetként kap egy pozitív egész számot, és logikai igazat állít elő, ha a szám páros számú 1-es bitet tartalmaz!

Mind a 32 bit cseréje

Írj programrészt, amely bemenetként kap egy előjel nélküli egész számot, melyről feltételezzük, hogy 32 bites. Cserélje fel a szám összes szomszédos bitpárját (0. az 1.-vel, 2. a 3.-kal, … 30. a 31.-kel)!

Bitek cseréje – bármekkora változóra

Írj egy olyan programrészt, amely bemenetként kap egy előjel nélküli egész számot, és kimenetként szintén egy előjel nélküli egész számot állít elő! Az utóbbi szám úgy keletkezik, hogy a paraméterként átvett számban megcseréli a szomszédos bitpárokat. Nem tudjuk, hogy az adott gépen hány bites az egész, de biztosan páros bitszámú. Pl. be: 25 → 011001, ki: 100110 → 38.

Hány 0 értékű bit?

Írj programrészt, amely paraméterként kap egy előjel nélküli egész számot, és megadja, hogy a szám hány 0 értékű bitet tartalmaz! A számról feltételezhető, hogy 32 bites.

Egyesek egymás mellett

Írj programrészt, amely bemenetként kap egy egész számot, melyről feltételezzük, hogy 16 bites. Adjon meg ez egy logikai értéket, amely akkor legyen igaz, ha a számban bárhol található egymás mellett két 1-es értékű bit, amúgy hamis! Pl. 138=10001010 esetén hamis a válasz, 154=10011010 esetén pedig igaz.

Mindkét oldalról 0

Írj programrészt, amely bemenetként kap egy előjel nélküli egész számot, és megadja, hogy hány olyan 1-es bit van a számban, amelyet mindkét oldalról 0 bit határol! (Értelemszerűen a legalsó és legfelső bit nem lehet ilyen.) Pl. ha a bemenő bitminta 1011101000010101011001010011111, akkor az eredmény 6. A bemeneti számról feltételezhető, hogy 32 bites.

Pontosan hat darab 1-es

Írj programrészt, amely bemenetként kap egy pozitív egész számot, és logikai igazat ad meg, ha a szám pontosan 6 db 1-es bitet tartalmaz!

Rotálás

Írj programrészt, amely bemenetként kap két előjel nélküli egész számot (mit, db), és mit-et db számú bittel forgatja el jobbra, és ezt az értéket adja meg (az előjel nélküli egészeket 32 bitesnek feltételezzük)! A jobbra forgatás azt jelenti, hogy mit bitjei db számú bittel jobbra tolódnak, és a „kieső” bitek a szám elejére kerülnek vissza. Pl. be:
00000000111111111111101010101010 és db = 4, ki:
10100000000011111111111110101010.

Bájtsorrend

Készíts programrészt, amelyik egy 32 bites előjel nélküli szám bájtsorrendjét megfordítja. Például, ha a bemenet 0x11223344, a kimenet legyen 0x44332211. Tételezd fel, hogy az unsigned int a futtató gépen 32 bites!

Lottó 5-ös

Hányféleképpen lehet n valamiből kiválasztani k valamit? Ezt a kombinatorikában kombinációnak nevezik („n alatt a k”). A lottóban 90 szám van, és 5-öt kell választani; a biztos 5-ös találathoz majdnem 44 millió szelvényt kell kitölteni:

90·89·88·87·86
────────────── = 43 949 268
   1·2·3·4·5

Feladat: írd meg a programot, amely kéri a felhasználótól n és k értékét. (A lottóban n=90 és k=5.) Ellenőrizd a program által adott eredményt! Vajon hibás a programod? Kövesd a változók értékét a nyomkövetőben (különösen a számláló kiszámításánál), és hasonlítsd össze azt a Számológép alkalmazásban kapottal!

/* A nem igazán működő megoldás */
#include <stdio.h>

int main(void) {
    int n, k;
    printf("n=");
    scanf("%d", &n);
    printf("k=");
    scanf("%d", &k);

    /* 1, hogy ezt szorozgassuk tovabb */
    int komb = 1;
    for (int i = n; i > n - k; i--)
        komb = komb * i;
    /* es utana osztjuk a faktorialissal */
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        komb = komb / i;

    printf("Cnk=%d", komb);

    return 0;
}

Miért helytelen az eredmény? Ellenőrizd a nyomkövető segítségével a gép által végzett számítást. Miért ott téveszti el, ahol? Az egyik fentebbi alapján, az unsigned típus bitjei számának ismeretében magyarázd meg az eredményt!

Hogyan lehetne javítani? Megoldható úgy is, ha maradunk az egész számoknál. Figyeld meg: k=1 esetén a számláló csak 90, a nevező 1. k=2 esetén a számláló 90·89, a nevező 1·2. A nevező miatt osztunk kettővel, de a számlálóban a két tényező közül az egyik biztosan páros, mert n·(n-1) alakú. Ugyanígy k=3-nál a számlálóban van egy szám, amely biztosan osztható 3-mal. Ha a ciklusban minden szorzás után rögtön az osztást is elvégezzük, akkor nem kell tárolnunk a 90·89·88·87·86 művelet eredményét, hanem végig csak kisebb számokat. Írd így meg a programot!

Gyök kettő – számábrázolási kérdések

A √2 számjegyei egyesével meghatározhatóak. A számítás elvégzése közben azonban könnyű számábrázolási problémákba botlani.

• Írj programot, amely a fenti algoritmussal 10⁻¹⁰ pontossággal meghatározza √2 értékét!
• Milyen típust kell ehhez használni? Meg tudod határozni a gyököt 10⁻²⁰ pontossággal? Mi történik, ha megpróbálod, és miért?
• Hasonlítsd össze ezt az algoritmust Hérón módszerével. Vajon melyik gyorsabb? Melyik ad kevesebb lépésből pontosabb megoldást?

Végtelen ciklus?

Az alábbi program egy olyan ciklust tartalmaz, mely addig fut, amíg egy szám és egy nála eggyel nagyobb szám nem egyenlő egymással. Ha a lebegőpontos típusaink végtelenül pontosak lennének, ez végtelen ciklust eredményezne. Mi a helyzet a gyakorlatban? Próbáld ki float és double típussal is!

#include <stdio.h>

int main(void) {
   float e = 0.0, f = 1.0;

   while (e != f) {
      f *= 2.0;
      e = f+1;
   }
   printf("%f\n%f\n", e, f);

   return 0;
}

Gyökkeresés

Tudjuk, hogy az x³-9x²+23x-15=0 egyenlet egy gyöke 2.2 és 4.5 között található. Írj programot, amely intervallumfelezéses módszerrel kiszámítja az egyenlet gyökét!

Ha sikerült kiszámítanod a gyököt, írd át a programot float típusra (ha eddig nem az volt), és epszilont csökkentsd 10^-8-ra (C nyelven 1e-8). Mit tapasztalsz?

(x-1)(x-10ⁿ)=0

Írj függvényt, amely megoldja az (x-1)(x-10ⁿ)=0 egyenletet! Ehhez alakítsd át az egyenletet x²-(1+10ⁿ)x+10ⁿ=0 alakba és az együtthatókat helyettesítsd be a megoldóképletbe. A függvény bemeneti paramétere n legyen. Próbáld ki a függvényt n = 1, 2, 4, 8 esetekre és float valamint double típusokkal is! Figyeld meg, hogy mi történik és adj rá magyarázatot!

A nagy átverés

Hány olyan x egész szám van, amelyre x = -x?